Primzahlfamilien - aliquot sequences

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Definition - Catalan'sche Vermutung

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Eine Kette iterativer  Zahleninhalte - kurz Inhaltskette (engl.: aliquot sequence) - ist eine Folge von natürlichen Zahlen, die mittels der Teilersummenfunktion gebildet werden: s(n) ist die Summe aller natürlichen Teiler einer Zahl n einschließlich der 1 und n selbst. 

Der Zahleninhalt ist die Teilersumme ohne die Zahl n, die sogenannte 'Summe der echten Teiler':

i(n) = s(n) - n.

In der internationalen Literatur steht für s(n) meist sigma(n). Bei längeren Ketten wird zur Bezeichnung eines bestimmten Gliedes gewöhnlich die erste Zahl geschrieben gefolgt von der Indexnummer gleichbedeutend mit "Inhaltsnummer". Ein Doppelpunkt dient als Trennzeichen. 
Beispiel: 276:i4 ist der vierte iterative Inhalt der  Kette, die mit 276 beginnt, also 276:i4 = 1872. Die ersten Glieder lauten 276, 396, 696, 1104, 1872. Die gesamte Inhaltskette kann eingesehen werden:
276, ihr Graph ebenso (die Beschreibung der graphischen Darstellung erfolgt weiter unten).

Viele Inhaltsketten enden in einer Primzahl. Alle natürlichen Zahlen, die über Inhaltsketten in ein und derselben Primzahl enden, bilden eine Primzahlfamilie (andere Abschlüsse sind möglich; siehe unten). Meistens hat eine derartige Primzahlfamilie viele Seitenzweige. Neuere Berechnungen führen gelegentlich zu einem Zusammenfluss (Konfluenz) von bisher getrennten Inhaltsketten zu einer Familie.

Den übergeordneten Zusammenhang formulierte erstmals der Lütticher Mathematiker Eugene Charles Catalan im Jahr 1888. Leonard Eugene Dickson erweiterte diese Behauptung zur heute so genannten Catalan-Dickson-Vermutung, kurz auch immer noch Catalan'sche Vermutung genannt: "Jede Kette iterativer Inhalte endet in einer Primzahl oder in einem Ring befreundeter oder geselliger Zahlen."
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Jeder neue Zusammenfluss zweier Inhaltsketten zu einer nährt die Hoffnung auf Erfolge durch Empirie zwar keinen Beweis zu erzielen, aber dennoch an der Lösung des Problems weiter zu arbeiten. Ein beachtlicher Schritt in dieser Richtung geschah im Februar 2005, als Christophe Clavier die Inhaltsketten 1578 und 56440 vereinigte und dabei einen Rekordrückgang entdeckte von 110 auf 5 Dezimalstellen.

Der Begriff "Catalans Vermutung" ist in der Literatur auch für einen anderen Tatbestand gebräuchlich: Catalan behauptete 1844, dass es für die Gleichung   xm - yn = 1  nur eine einzige Lösung gibt, nämlich 32 - 23 = 1. Diese Behauptung wurde im Mai 2002 von Preda Mihailescu bewiesen. Dieses Problem wird auf dieser Website nicht untersucht!

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Inhaltsketten

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Endende Inhaltsketten heißen auch terminierte Ketten. Das normale Ende einer Inhaltskette ist eine Primzahl.

Anstelle einer Primzahl kann auch ein Ring (Zyklus, aliquot cycle) das Ende einer Inhaltskette bilden. Bekannt sind Zweierringe - sogenannte befreundete Zahlen. Pythagoras verglich wahre Freundschaft mit den Zahlen 220 und 284: i(220) = 284 und i(284) = 220. Dies ist das kleinste bekannte Paar befreundeter Zahlen. Derzeit sind nach Pedersen über 11994387 (am 1-10-2007) befreundete Zahlenpaare bekannt. Nicht alle wurden aufgefunden, die meisten von ihnen wurden auf der Basis bekannter Zahlenpaare nach sogenannten Thâbit-Regeln konstruiert. Das Untersuchungsintervall ist [1, 10^999] mit einigen Erweiterungen in [10^1000, 10^13581]. Bis 10^14 ist die Liste vollständig und die einzelnen Zahlenpaare mit den Entdeckerangaben können eingesehen werden. Bemerkung: Die Daten bei Pedersen werden in relativ kurzen Zeitabständen erneuert.

Es sind auch Ringe der Ordnung 4, 5, 6, 8, 9 und 28 entdeckt worden, sogenannte gesellige Zahlen. Bisher kennt man noch keine anderen Ordnungen, obwohl es für die Zykluslänge meines Wissens nach keine Begrenzungen gibt. Insgesamt sind derzeit (April 2013) 221 Ringe höherer Ordnung bekannt. Man findet sie bei Moews aufgelistet. Eine ähnliche Tabelle findet sich auch bei Pedersen. Die Inhaltskette mit der Startzahl 17490 mündet in den kleinsten bekannten Viererzyklus. Viererzyklen sind am häufigsten vertreten: 206 sind bekannt, dazu fünf der Länge 6, drei der Länge 8 und je einer der Länge 5, 9 und 28. Vierzyklen sind bis 5*10^12 komplett untersucht. Der größte Viererzyklus hat 71 Dezimalstellen.

Die kleinsten Ringe sind vollkommene Zahlen. Sie haben sich selbst zum Inhalt. Die kleinsten dieser Zahlen sind 6, 28, 496, 8128, 33550336. Derzeit sind 48 vollkommene Zahlen bekannt (die 42. wurde im Februar 2005 gefunden, die 43. Mitte Dezember 2005,  Nr. 44 im September 2006, Nr. 45 im August 2008, Nr. 46 im September 2008, Nr. 47 im Juni 2009, Nr. 48 im Januar 2013). Sie enthalten als Primfaktoren eine Zweierpotenz und eine Mersenne'sche Primzahl. Bis heute sind nur gerade vollkommene Zahlen bekannt. Eine ungerade vollkommene Zahl kann nach Abschätzungen, die 1991 von Brent, Cohen und te Riele gemacht wurden, nicht kleiner als 10^300 sein.
Im weltweiten Verbund werden Mersenne'sche Primzahlen gesucht (GIMPS (engl.) bzw. GIMPS (dt.)). Die 43. Mersenne'sche Primzahl hat 9152052 Ziffern, die 44. hat 9808358 Ziffern, die derzeit zweitgrößte ist Nr. 45 mit 12978189 Dezimalstellen - die später gefundenen sind "etwas" kleiner. Die Rekordlänge hat  Nr. 48 mit 17425170 Dezimalstellen.

Vereinzelte Ketten sind offen. Ihre Zahleninhalte wachsen bis zur derzeitigen Rechengrenze an, ohne dass entschieden werden kann, ob sie enden oder nicht. Die kleinste Startzahl (auch Schlüsselzahl) einer derartigen Offenendkette (OE-Kette) ist 276 (-> Labyrinth in Chartres). 

Im Intervall [1, 1000] gibt es 5 offene Ketten. Ihre Startzahlen sind
276, 552, 564, 660 und 966, die sogenannten Lehmer Five.
Im Intervall [1, 10000] gibt es zur Zeit 81 Offenendketten, in [1, 100000] gibt es zur Zeit 898 OE-Ketten, in [1, 10^6] gibt es 9202 OE-Ketten. Diese Zahlen sinken mit zunehmendem Rechenfortschritt.

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über den momentanen Rechenstand und die Bearbeiter (B = Bosma, C = Creyaufmüller, CL = Clavier, G = Gerved, H = Hoogendoorn, S = Stern, VB = Varona/Benito, Z = Zimmermann); weitere Details finden sich in einer erweiterten Tafel [1, 10^6]. Varona listet die Werte [1,10^4] auf. Die Gesamtübersicht für [1, 220000] wurde ebenfalls erstellt.

Tabelle - Gesamtübersicht:

Intervall

Anzahl der OE-Ketten

Rechengrenze

gerechnet von 

       
[1, 1000]      5 > 10^157 C/Z
[1, 10000]     81 > 10^150 C/VB/Z/CL
[1, 50000]

  440

> 10^100 B/C/G/VB
(50000, 10^5]

  458

>10^100 C/G/S/Z
[1, 100000]   898 > 10^100 B/G/Z/VB/S/C/CL
(100000, 200000]   950 > 10^100 C/VB
(200000, 300000]   911 > 10^100 C / H / B
(300000, 400000]   851 > 10^80 / 10^100 C / B
(400000, 500000]   883 > 10^80 C
(500000, 600000]   945 > 10^80 C
(600000, 700000]   936 > 10^80 C
(700000, 800000]   920 > 10^80 / 10^100 C
(800000, 900000]   954 > 10^80 C
(900000, 10^6]   954 > 10^80 C
       
[1,10^6]  9202  > 10^80 / 10^100  
Download aller Ketten > 10^80 / 10^100  

Eine freie Gruppe Mathematiker rechnet im Intervall (500k, 600k]. Um doppelte Arbeit zu vermeiden, bitte die reservierten Sequenzen beim Mersenne-Forum prüfen! (200k, 250k] ist berechnet auf >C100.

Detailtabelle [1 - 10^6] 

Etwa 1% der Zahlen sind Startzahlen für OE-Ketten, d.h. ihre Primzahlfamilienzugehörigkeit ist unbekannt. Dies ist eine empirisch ermittelte Größe und kann als Hypothese auch für Bereiche größer als [1, 10^6] formuliert werden. Allerdings ist anzumerken, dass Richard K. Guy im sogenannten "Gesetz der kleinen Zahlen" davor warnte, zu schnelle Schlüsse aus dem Verhalten kleiner Zahlen zu ziehen - oft gilt nicht für große Zahlen, was für kleine evident erscheint.
Die komplette Statistik für [1, 10^6] ist im Anfangsbereich über den vorangehenden link einzusehen, für einen download klicken Sie hier.

Die obige Tabelle ist das Resultat langjähriger Berechnungen. Mit Hilfe des Programms ALIQUOT von Ivo Düntsch wurde eine Matrix erzeugt, in der zu jeder natürlichen Zahl das Ziel der auf ihr aufbauenden Inhaltskette angegeben ist. Für jede Zahl wird also die Inhaltskette bis zum Ende berechnet oder die Berechnung bricht ab, wenn die Sequenz zu sehr anwächst. Diese Ketten wurden dann getrennt untersucht. Für das Intervall [1, 10^6] kam so im Laufe der Jahre ein Datenbestand von mehreren Gbyte zusammen. 
Alle Ketten wurden auf Zusammenhänge untersucht und erfasste Seitenzweige dem jeweiligen, neuen Ziel zugeordnet bzw. der jeweils kleinsten Startzahl, wenn die Sequenz offen blieb. 
Der gesamte Zahlenbereich bis 10^6 wurde erstmals bis zu einer Obergrenze von 40 Dezimalstellen durchsucht, später bis zur erweiterten Obergrenze von mindestens 60 Dezimalstellen (C60). Diese Arbeit war im Mai 1999 vorerst abgeschlossen. 
Seither wurden noch einige Dutzend weitere Ketten terminiert im Zuge der Erweiterung der Obergrenze auf C80. Die Tabelle oben enthält den aktuellen Stand. Ende März 2003 waren dann alle OE-Ketten bis zu einer Obergrenze von mindestens C80 berechnet.
Nach bisherigem empirischem Überblick führt die Erweiterung der Rechengrenze von C60 auf C80 dazu, dass etwa 2-2.5% der bisher als OE-Ketten eingestuften Inhaltsketten terminieren oder als Seitenkette identifiziert werden können.
Als an Weihnachten 2001 die Kette 6160 zur Primzahl 601 zuende gerechnet wurde, wechselten 1797 Zahlen in (1, 10^6], also 1,8%, die Familie.

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Graphische Darstellung

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Für einen raschen Überblick ist es günstig, eine Inhaltskette graphisch darzustellen. Hierzu bietet sich folgende Einteilung der Achsen an: Auf der x-Achse wird die Inhaltsnummer, beginnend mit 0, aufgetragen und auf der y-Achse der Logarithmus zur Basis 10 des Inhalts. Wir haben also eine Funktion f: N(n) -> log10 i(n). Die drei Typen von Inhaltsketten geben drei Grundtypen in der graphischen Darstellung.

1) primterminierte Ketten Der Graph ist ein einzelner, unregelmäßiger Berg mit einem Hauptmaximum (Ende in Primzahl) Beispiel: g840
2) zyklischer Abschluss Der Graph endet in einer horizontalen Linie (Ende in vollkommener Zahl) Beispiel: g976950
  Der Graph schwankt zwischen zwei horizontalen Grenzgeraden (Ende in befreundeten Zahlen) Beispiel: g980460
  Der Graph schwankt zwischen zwei horizontalen Grenzgeraden (Ende in einem Zyklus höherer Ordnung) Beispiel: g17490 und g2856
3) offene Ketten Der Graph steigt mehr oder minder konstant an, hat aber sein Maximum zumeist am Ende Beispiel: g276  und  g1578

Weitere Graphen sind über die Links in der Rekordliste zu erreichen oder bei den Lehmer Five.

hoch    840    976950    980460    17490    2856    276   1578    tief 

840 - primterminierte Kette (Komplette Sequenz)

Graph 840

hoch    840    976950    980460    17490    2856    276   1578    tief 

976950 - Abschluss in vollkommener Zahl (6)

Graph 976950

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980460 - Abschluss in einem Zahlenpaar (2620/2924)

Graph 980460

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17490 - Abschluss in 4er-Zyklus

Graph 17490

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2856 - Abschluss in 28er-Zyklus

Graph 2856

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276 - OE-Kette

Graph 276

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1578 - OE-Kette mit Rekordtief

 

Graphen der Familien

(für mehr Details hier oder oben anklicken)

 

7

11

13 - 17 - 19

23 - 29 - 31

 
         
         

 

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Datenbanken

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1) Die Daten der untersuchten Inhaltsketten im Intervall [1, 1000000] mit ihren Startzahlen und dem Rechenendstand enthält die Datenbank C9C30 (über vorstehenden link sehen Sie den Anfangsteil).  Hier finden sich terminierte Ketten und ihre Ziele sowie die OE-Ketten mit den Angaben, wieweit sie berechnet sind. Zu jeder Kette wird die erste 9stellige Zahl (C9) und die erste 30stellige Zahl (C30) angezeigt. Mit diesen Werten besteht die Möglichkeit, Seitenketten zu identifizieren.
2) Eine zweite Datenbank C60 (hier nur der Anfang) zeigt zu jeder Inhaltskette, die auf diese Größe anwächst, ihren ersten C60-Wert. Diese Zahlen ermöglichten die Identifizierung weiterer Seitenketten. 
3) Im Frühjahr 2000 wurde die erweiterte Berechnung der OE-Ketten bis mindestens zur Obergrenze C80 begonnen. Ziel ist auch der Aufbau einer C80-Datenbank. Sie wurde im Dezember 2000 mit den zur Verfügung stehenden Daten aufgestellt und wurde im März 2003 bis auf allfällige Ergänzungen vollendet.

C9C30 / C60 / C80 - Ausschnitte (zum Betrachten)

C9C30 / C60 / C80 - komplett (gepackt zum download)

4) Zu ALIQUOT gehört eine Matrix (record file) gleichsam als Gerüst, in der die Einträge zu jeder Inhaltskette zu finden sind. Diese gliedern sich in verschiedene Gruppen:
a) -1, wenn noch keine Berechnung erfolgte
b) eine Primzahl bei terminierten Ketten
c) die jeweils kleinste, positive Zahl eines Ringes (vollkommene Zahl, befreundete oder soziale Zahlen)
d) die negativ markierte Startzahl bei OE-Ketten, d.h. wenn ALIQUOT die Berechnung abgebrochen hat.

Nach diesen Kategorien kann eine Sortierung nach den Gruppen jederzeit erfolgen. In einer aufgesetzten Basismatrix finden sich nur die Einträge der Ketten, die mit UBASIC-Programmen gerechnet wurden. Sie lässt sich leicht anpassen und relativ rasch durchrechnen. Nachträgliche Änderungen einer fertig gerechneten Matrix sind allerdings schwierig, weil Seitenzweige oft nicht alle erfasst werden können.

ALIQUOT und zugehörige Matrizen (record files)

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Internet - Links

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Unter folgenden Internetadressen finden sich weitere Angaben, teilweise mit vielen Literaturverweisen:

Primzahlfamilien und Inhaltsketten - aliquot sequences

Befreundete Zahlen und Zahlenringe - amicable numbers - aliquot cycles or sociable numbers

Vollkommene Zahlen - Mersenne'sche Primzahlen - perfect numbers

Ein Führer durch die sehr umfangreiche Website von Chris Caldwell ist die von Tobias Jentschke aufgesetzte Maske, die mit gut gesetzten links auf die einzelnen Blätter direkt zugreift. Einen mehr journalistischen Überblick, aber ebenfalls mit vielen Querverweisen gibt Mario Jeckle. Beide führen auch direkt zu einer Biographie von Marin Mersenne. Von Udo Hebisch stammt eine Website mit der momentan aktuellen Tabelle der Mersenne'schen Primzahlen und einer Liste mit Lebensdaten bedeutender Mathematiker. Der Nachteil dieser Seiten ist, dass sie leider seit geraumer Zeit nicht mehr aktualisiert wurden. 
Eine Liste mit Kurzbiographien heute aktiver Kollegen gibt Chris Caldwell wieder.

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Literatur

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Ein aktuelles Verzeichnis der Schriftdokumente ist über den vorstehenden link zu erreichen.
Überwiegend englischsprachige Literatur findet sich verzeichnet bei Moews, Weisstein und Caldwell und von da aus über viele links in weiteren Webseiten. 

Deutschsprachige Literatur zum Thema ist relativ dünn gesät, von älteren mathematischen Artikeln abgesehen. Eine aktuelle Monographie ist:

Wolfgang Creyaufmüller: "Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich von 1 bis 3000 im Detail", 19951 ,176 S.  / 19972 , 262 S. / 20003 , 327 S.
ISBN 3-9801032-2-6.

Hier findet sich die Literatur insgesamt aufgearbeitet. Programme für PCs sind im Quellcode wiedergegeben. Der Literaturlink führt zum mathematischen Teil des Inhaltsverzeichnisses der 3. Auflage.

Verlagsbuchhandlung  Creyaufmüller

Ein sehr gutes Überblicksverzeichnis mit Download-Möglichkeit der Schriften pflegt Scott Contini mit FactorWorld.


Faktorisierung großer Zahlen

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Die Berechnung von Inhaltsketten führt sehr rasch auf Faktorisierungsprobleme. Bei terminierten Sequenzen mit bescheidenem Maximalwert fällt dies kaum ins Gewicht. Werden die iterativen Zahleninhalte aber immer größer - wie es bei OE-Ketten normalerweise der Fall ist; siehe Beispiel 276 - lassen sich häufig nur kleine Primfaktoren leicht abspalten. Es verbleibt dann ein mehr oder minder großer Rest, der in vielen Fällen zusammengesetzt ist. Ihn zu zerlegen ist die schwierigste und zeitaufwendigste Tätigkeit. Diese Restfaktoren gehorchen im Normalfall keiner Gesetzmäßigkeit, sie sind nicht nach Regeln oder Formel zu erfassen. Ihre Aufspaltung in Primfaktoren ist den unten angeführten Programmen vorbehalten.

ECM - Faktorisierung mittels elliptischer Kurven
In den letzten Jahren hat sich eine Faktorisierungsmethode mittels sogenannter elliptischer Kurven bestens bewährt. Programme auf dieser ECM-Basis finden Faktoren bis zu 20 Dezimalstellen recht schnell, bis zu 30 Stellen innerhalb einiger Stunden oder Tage. Größere Faktoren werden mit mehr oder minder gutem Geschick oder Glück aufgespürt.
Mit sehr effektiven Berechnungen wurde am 26. Dezember 1999 der Rekordwert mit einer 54stelligen Primzahl mittels ECM-Faktorisierung erreicht. Paul Zimmermann fasst auf seiner Seite zum ECMNET Projekt das Wesentliche über die aktuelle ECM-Faktorisierungsmethoden zusammen. 

PPMPQS - Faktorisierung mittels Siebverfahren
Zuverlässige Zerlegungen großer Zahlen leisten zur Zeit die multiplen polynomischen quadratischen Siebe (PPMPQS). Mit ihnen lassen sich hundertstellige zusammengesetzte Zahlen (C100) innerhalb einiger Wochen faktorisieren. Der Rekord liegt im Herbst 2001 bei 109 Dezimalstellen. Über die links unten können UBASIC Fassungen für DOS und Windows heruntergeladen werden.

Number Field Sieve - Zahlkörper-Sieb
Das Zahlkörper-Sieb konnte ich noch nicht selbst in vollem Umfang testen. Mir sind derzeit keine Programme bekannt, die das Zahlkörper-Sieb in Inhaltskettenberechnungsprogramme einbinden. Es mehren sich aber in den letzten Jahren die Publikationen zu diesem Thema. Conrad Curry behandelte vor einiger Zeit den Komplex auf seiner Website; er wird zur Zeit weitergeführt von Henrik Olsen.
Die zur Zeit beste Website wird von Paul Leyland unterhalten. Hier findet man auch eine grundlegende Einführung ins Thema.
Literatur zum Thema findet man gesammelt unter nfs-Papers.
Eine ebenfalls gute Zusammenfassung enthält mathworld.

Eine mögliche Verbindung des Zahlkörpersiebes mit den bisherigen Programmen läuft über MSIEVE und separate Berechnungen. Die Faktoren müssen in die Inhaltskettenberechnung derzeit "von Hand" eingefügt werden. Das einzige mir bekannte Programm, das unter einer WinXP-Umgebung im DOS-Fenster läuft, faktorisiert Zahlen ab C98 oder größer. Der grob abgeschätzte Geschwindigkeitszuwachs liegt bei Faktor 20 oder höher. Erste eigene Testrechnungen laufen ab Mai 2008 überaus erfolgreich.
A) Benötigt wird Free Active Pearl, das als erste Maßnahme zu installieren ist.
B) Als zweites folgen die Binärdateien, die allerdings vom verwendeten Prozessor abhängen: Free GGNFS.
C) Der letzte Schritt besteht in der Installation von NFS, das im Verzeichnis von GGNFS zu platzieren ist.
D) Die gepackte Datei ggnfs.zip enthält alle nötigen Programme. Das Zahlkörpersieb wird gestartet aus dem Unterverzeichnis "Tests" durch Eingabe von "num" gefolgt von der zu faktorisierenden Zahl.


Grundsätzlich gibt es zur Zeit Programme für Zahlkörper-Siebe, die spezielle Zahlen zerlegen (special nfs), aber auch solche für arbiträre Zahlen (general nfs). Mit einem derartigen Sieb wurde innerhalb der Sequenz 276 ein C111-Faktor in Teamarbeit zerlegt. Der momentane Rekord (Mai 2007) ist die Zerlegung einer C307-Zahl  (C200-Zahl im Mai 2005), (C174 -Zahl im Dezember 2003), ( C158 -Zahl im Februar 2003) durch Jens Franke.
Seit kurzem gibt es eine Ubasic-Variante, implementiert von Yuji Kida. Sie läuft aber nur mit der experimentellen Ubasic-Variante Version 9.
Ein Hinweis auf eine gnfs-Implementierung: GGNFS.

Die Fragestellung der Faktorisierung großer Zahlen berührt ganz direkt das Gebiet der Kryptographie, d.h. das der Verschlüsselung von Botschaften und ihre Entschlüsselung, letztlich natürlich auch die Sicherheit der gesamten Datenübermittlung. 

Einen guten, kompakten, englischsprachigen Überblick über die oben genannten Faktorisierungsmethoden gibt Jim Howell auf seiner Website.

Die momentanen Rekorde, die mittels der verschiedenen Methoden erreicht werden, listet crypto-world auf.

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Programme

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Die Programme, mit denen die Berechnungen gemacht werden, sind in Turbo Pascal und in UBASIC geschrieben.
UBASIC ist ein Dialekt, der speziell für mathematische Berechnungen mit großen Zahlen geeignet ist. Die Programme sind prinzipiell frei erhältlich. Faktorisierungen von Zahlen bis 105 Dezimalstellen lassen sich mit der DOS-Version von Yuji Kidas UBASIC-Progamm PPMPQS berechnen. Bis 120 Dezimalstellen geht die momentane Windowsversion. Beide Siebmethoden wurden in das Inhaltsrechenprogramm eingebunden. Die nfs-Faktorisierungsmethode zerlegt noch größere Zahlen.

ALIQUOT und zugehörige Matrizen (record files)

UBASIC-Programme (gepackt zum download) - letzte Änderung: 20-4-2002/29-12-2003/12-6-2004/11-6-2006

ALQ-Konverter (gepackt zum download)

Andere Programme

Kommentar:
ALIQUOT wurde von Ivo Düntsch in Turbo Pascal geschrieben und liegt in der Originalfassung auf dem Server in Belfast. Das veränderte und erweiterte Programm AQCN ist zusammen mit dem ausgegliederten Statistikteil AQSN die Basis der ersten Tabelle. Im Februar 2001 wurden beide Programme gepatcht, weil sie auf Rechnern mit Taktfrequenzen oberhalb 600 MHz den bekannten "Borland Turbo-Pascal runtime-error 200" lieferten.
Die UBASIC-Programme Ellixts.ub und Ellippmp.ub bzw.
Ellppmpx.ub liegen grundsätzlich im Quellcode vor und können variiert werden. Sie bieten also alle Möglichkeiten für unbeschwerten Forscherdrang. Ellippmp.ub (für DOS pur) bzw. Ellppmpx.ub (für DOS-Fenster aller Windowsversionen) wechseln automatisch, dies aber einstellbar, zwischen der Berechnung mittels elliptischer Kurven und der mittels quadratischem Sieb hin und her. 
Die beiden Konverter Alq2elf und Elf2alq sind sehr hilfreich zum Komprimieren der Zahlendateien (*.ELF) auf weniger als 10% ihres Volumens. Sie sind von Jesper Gerved geschrieben worden.
Clifford Stern schrieb im Dezember 2001 ein kleines Programm zum Seitenkettenabgleich und zum Ermitteln des Konfluenzpunktes. Ein zweites Programm konvertiert SQ-Dateien in ELF-Dateien.

Querverbindungen

Unabhängig von den Programmen, mit denen die hier besprochenen Untersuchungen bewerkstelligt wurden, gibt es noch für andere Hardware entsprechende Software, die prinzipiell dasselbe leisten kann. Entsprechende Hinweise finden sich z.B. auf Richard Pinch's über Computeralgebra. Während ich mich maschinenbedingt mit DOS/Windows-Rechnern und den entsprechenden Programmen beschäftigte, findet man bei Paul Zimmermann überwiegend Programme für UNIX-Rechner. Von hier wird man bestens weitervermittelt, unter anderem auch mit folgenden Links. 
Hisanori Mishima gibt auf seiner Seite Hinweise auf ein neues Faktorisierungsprogramm von Satosi Tomabechi: Ppsiqs soll schneller sein als Ppmpqs.

 ECM - PPMPQS - PPSIQS  NFS  Allgemein
 ECMNET - freie ECM Programme  Number Field Sieve  Algorithmische Zahlentheorie
 ECM client/server  Number Field Sieve Org.  Jim Howell
 Hisanori Mishima  GGNFS  Richard Pinch's Computer Algebra Links
 Arithmétique Théorie des Nombres  Wikipedia-Zahlkörpersieb  MIRACL - Michael Scott
 ECC Tutorial  MSIEVE  Richard Brent's Faktortafeln
 Elliptic Curves    Wilfried Keller - Faktortafeln
   

 Crypto-World
     Factorization Announcements
   

 numbertheory.org/ntw/N4.html - Linksammlung
   

 Primzahlen
   

 Prime Links ++
   

 Primzahlseite

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Pädagogische Umsetzung

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Ein generelles Ziel ist die didaktische Umsetzung dieses mathematischen und programmtechnischen Gebiets für den Oberstufenunterricht in den Klassen 9 bis 12. Das Thema an sich eignet sich für Unterrichtssequenzen in Mathematik. Es ist Innerhalb der Oberstufe nahezu altersunabhängig einsetzbar. Grundlegende Rechentechniken werden in einem neuen Gewand geübt. Die programmmäßige Arbeit dagegen blieb bisher dem Informatikunterricht der 11. und 12. Klasse vorbehalten. Geübt und erlernt werden Algorithmen und rhythmologisches Rechnen.
Im laufenden Schulbetrieb an der
Freien Waldorfschule Aachen werden laufend weitere Erfahrungen gewonnen und vertieft. Ein Motiv ist die Verbindung der Schüler mit der Forschungsfront. Aus Energiekostengründen ruht das Projekt seit Herbst 2008.


Projekte in Arbeit - Rückblicke und Aktuelles

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Dezember 1999:
Die DOS-Versionen der Inhaltsketten-Programme Ellixts.ub und Ellippmp.ub bzw.
Ellppmpx.ub laufen seit einigen Jahren problemlos. Sie wurden in vielen Zwischenschritten verbessert. Die Umstellung von reinen DOS-Programmen auf Windows-Versionen wurde erfolgreich vollzogen.

Mai/Juni 2000:
Die Ubasic-Siebprogramme  Ellippmp.ub bzw.
Ellppmpx.ub wurden verbessert für dreifaktorige Zerlegungen.
Juan-Luis Varona beendete die Berechnungen in (1134, 10000]

Die Berechnung der bislang längsten bekannten Inhaltskette 921232 ist beim Index 5326 vorläufig gestoppt worden.

Oktober 2000:
Ellippmp.ub bzw. Ellppmpx.ub erhielten eine Fehlerberichtigung - bei mehreren kleine Faktoren nach Neustart stoppte das Programm.

Dezember 2000:
Die Berechnungen in (900000, 10^6] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 987 OE-Ketten. 


Mai 2001:
Die Berechnungen in (800000, 900000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 982 OE-Ketten. 

Oktober 2001:
Die Berechnungen in (100000, 200000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 975 OE-Ketten. 

Januar 2002:
Die Berechnungen in (200000, 300000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 938 OE-Ketten. 

März 2002:
Die Berechnungen in (300000, 400000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 877 OE-Ketten. Die Programme Ellippmp.ub und Ellppmpx.ub wurden erweitert und verbessert.

Mai 2002:
Die Berechnungen in (400000, 500000] wurden erweitert bis zu einer Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 917 OE-Ketten.

Juli 2002:
Die Berechnungen in (500000, 600000] wurden erweitert bis zur Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 971 OE-Ketten.

Januar 2003:
Die Berechnungen in (600000, 700000] wurden erweitert bis zur Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 958 OE-Ketten.

März 2003:
Die Berechnungen in (700000, 800000] wurden erweitert bis zur Obergrenze von mindestens C80. Es gibt in diesem Intervall jetzt noch 961 OE-Ketten.
Damit sind alle Berechnungen für 9486 OE-Ketten in [1, 10^6] abgeschlossen und haben eine Mindesthöhe von 80 Stellen erreicht.  Rund 17%, genau 171251 Zahlen aus [1, 10^6] sind Mitglieder dieser OE-Ketten.

Juli 2003:
 Die Berechnungen in (50000, 100000] wurden ausgeweitet bis mindestens 10^90 (Creyaufmüller/Stern).

August 2004:
Wieb Bosma rechnete in (10000, 50000] und hat alle Ketten bis 10^90 ausgeweitet, ca. 50% davon bis über 10^90. 
Die Berechnungen bis 10^100 sind abgeschlossen. Sie wurden komplett neu erstellt.
Juan Varona und Manuel Benito rechnen in (1000, 10000] - zur Zeit sind alle Ketten bei 10^100 oder höher. Ihre Berechnungen ruhen derzeit

September 2005:
Die Berechnungen in (50000, 100000] wurden erweitert bis C100. Die Berechnungen und Kontrollen sind abgeschlossen.

Juni  2008:
Die Berechnungen in (100000, 200000] bis mindestens C100 sind abgeschlossen. Es gibt in diesem Intervall noch 961 OE-Ketten. Bei der Erweiterung von C80 auf C100 wurden 15 Ketten terminiert oder als Seitenketten identifiziert.

September  2008:
1) Zur Zeit laufen die Berechnungen der Inhaltsketten 276552, 564660 und 966 sowie 1074 und 1134  (Zimmermann/Howell/Creyaufmüller).

2) Die Statistik der Inhaltsketten im Intervall [1, 1000000] wird ständig aktualisiert. Die gesammelten Ergebnisse enthält die Datenbank C9C30 (über vorstehenden link sehen Sie den Anfangsteil).  Hier finden sich terminierte Ketten und ihre Ziele sowie die OE-Ketten mit den Angaben, wieweit sie berechnet sind. Zu jeder Kette wird die erste 9stellige Zahl (C9) und die erste 30stellige Zahl (C30) angezeigt.

3) Eine zweite Datenbank C60 (hier nur der Anfang) zeigt zu jeder Inhaltskette im Intervall [1, 1000000], die auf diese Größe anwächst, ihren ersten C60-Wert.

4) Eine dritte Datenbank C80  (hier nur der Anfang) zeigt zu jeder Inhaltskette, die auf diese Größe anwächst, ihren ersten C80-Wert. Sie enthält die Ergebnisse von Zimmermann, Varona, Creyaufmüller, Bosma und ist derzeit erstellt für [1, 10^6].

5) Die Berechnungen in (1000, 10000] werden von Christopher Clavier weitergeführt.

6) Die Berechnungen in (200000, 250000] bis mindestens C100 sind zu ca. 40% beendet.

7) Die Berechnungen in (250000, 300000] bis mindestens C100 haben begonnen und werden von Wieb Bosma durchgeführt.

8) Die erste Inhaltskette erreichte die Rekordlänge von über 8000 iterativen Inhalten.

Juni 2009:
Alle OE-Ketten sind zum Download online.

ab Januar 2010:
Eine freie Gruppe Mathematiker rechnet im Intervall (500k, 600k] und in (700k, 800k]. Um doppelte Arbeit zu vermeiden, bitte die reservierten Sequenzen beim Mersenne-Forum prüfen!
(200k, 250k] ist berechnet auf >C100.

Oktober 2011:
Die erste Inhaltskette hat im Sommer die Marke von 10000 Gliedern übersprungen und ist momentan bei Index 12320.


 C9C30 Stand: 12-8-2009  C60 Stand: 27-5-2002  C80 Stand: 31-3-2003
 Datenbank C9C30 - 
 Ausschnitt 1 bis 100000
 
 Datenbank C60 - 
 Ausschnitt 1 bis 100000
 Datenbank C80 - 
 Ausschnitt
 Datenbank C9C30 - 
 Komplettversion (ca. 650 kB) 
 Datenbank C60 - 
 Komplettversion (ca. 372 kB)
 Datenbank C80 - 
 Komplettversion (ca. 446 kB)

   

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Chronologie jüngster Ergebnisse


Rekordwerte bei Inhaltsketten

    start    hoch    tief

Bitte auch vergleichen mit Clifford Sterns Seite und seinen Graphen

    Startzahl  Status  Graph  Datum gefunden bzw. gerechnet von
           
Rekordlängen:   204828   i4015: OE-Kette  g204838   Creyaufmüller/
Zimmermann
 ( i > 4000 )   635016   i4090: Seitenkette zu 25968     Creyaufmüller
    227646   i4203: Seitenkette zu 25968     Creyaufmüller
    652500   i4208: Seitenkette zu 25968     Creyaufmüller
      43974   i4126/i4243: OE-Kette    13-06-2004 Bosma/Creyaufmüller
    481900   i4348: terminiert in 3    31-08-2009 mataje
      43230   i4356: terminiert in 101    g43230  3-12-1999 Bosma
      98790   i4443: terminiert in 13    20-07-2008 Stern/Creyaufmüller
    971088   i4468: OE-Kette    05-10-2000 Creyaufmüller
    604440   i4368: OE-Kette    03-01-2003 Creyaufmüller
    216840   i4699: OE-Kette    24-08-2008 Creyaufmüller
    446580   i4736: terminiert in 601  g446580  19-04-2002 Creyaufmüller
    321090   i4743: OE-Kette    29-01-2002 Creyaufmüller
      11040   i4746/i4853: OE-Kette    22-12-2001
09-06-2004
Stern
Creyaufmüller
 ( i > 5000 )   643752   i5008: OE-Kette (C83)    06-12-2002 Creyaufmüller
      92898   i5063: terminiert in 41    11-03-2010 Stern
    696780   i5293: terminiert in 59    09-02-2010 frmky
    921232   i5326: OE-Kette (C103)  g921232  03-06-2000 Creyaufmüller
      59232   i5339: OE-Kette (C97)    21-01-2001 Zimmermann/Stern
    115302   i5415: OE-Kette (C100)  g115302  24-07-2001 Creyaufmüller
        8760   i5583: OE-Kette (C107)    27-01-2003 Varona
    707016   i5932: terminiert in 41    12-11-2010 Batalov
 (i > 6000)   921232   i6358: terminiert in 11  g921232-n  12-04-2010 Creyaufmüller/unconnected
    483570   i6491: OES-Kette (C93)    23-05-2002 Creyaufmüller
 (i > 7000)   144984   i6531: OE-Kette (C101) / i7053    31-08-2007 / 2009 Creyaufmüller / Schickel
        1578   i7147: OE-Kette (C128) / i7261    22-11-2006 Clavier
    195528   i7955: OE-Kette    2009 Batalov
 (i > 8000)   389508   i7070: OES-Kette (C87) // i7135 (C101) // i8000 (C124) // i8033 (C126)  g389508  20-03-2002 /
60-12-2006/
21-06-2008
Creyaufmüller/Bosma//
Stern//Nelson-Melby
 (i > 9000) ??   314718   OES-Kette: 314718:i6444 = 4788:i6 // i9004 (??)    2009 (?)
14-7-2010
Bosma / Schickel
    11040  i9405: OE-Kette    29-03-2012 unconnected
 (i > 12000)   933436  i12320: OE-Kette (C150)    19-10-2011 unconnected
           
Längste terminierte Ketten:     64962   i2595 = 7     Zimmermann
        6160   i3026 = 601       g6160  25-12-2001 Varona/Benito
      42660   i3057 = 43     Bosma
    849920   i3336 = 7    27-30-1999 Creyaufmüller
      11670   i3534 = 193    05-09-2007 Stern
    483616   i3669 = 31    14-05-2002 Creyaufmüller
      62850   i3973 = 41    04-09-2008 Stern
    481900   i4346 = 3    31-08-2009 mataje
      43230   i4356 = 101    g43230  03-12-1999 Bosma
      98790   i4443 = 13    20-07-2008 Stern
    428106   i4717 = 7    20-01-2012 Batalov
    446580   i4736 = 601  g446580  19-02-2002 Creyaufmüller
      92898   i5063 = 41    11-03-2010 Stern
    696780   i5293 = 59    09-02-2010 frmky
    707016   i5932 = 41    12-11-2010 Batalov
    921232   i6358 = 11  g921232-n  12-04-2010 Creyaufmüller/unconnected
    414288   i6584 = 601    24-07-2009 Santos
           
Längste Seitenketten:     42800   i2180 = 4788:i6 = 60564     Bosma
    336048   i2727 = 552: i21 = 772840     Creyaufmüller
    389508   i2919 = 34908:i7 = 113464    20-03-2002 Creyaufmüller
    487140   i2960 = 660: i25 = 14700    10-10-1998 Creyaufmüller
    731520   i3328 = 4116: i7 = 42028    11-02-1999 Creyaufmüller
    644664   i3882 = 37632:i2 = 149716    27-12-2011 bchaffin
    207984   i4215 = 53802: i151 = 1773682    31-12-1011 Batalov
    483570   483570:i4656 = 1920:i81 = 98624     17-05-2002 Creyaufmüller
    438966   i4720 = 5748: i5 = 246584    11-02-2012 unconnected
    314718   314718:i6466 = 4788:i6 = 60564    2009 Schickel/Bosma
           
Maximum bei terminierten Ketten:       4170: i289   (C84: lg 83.52) endet in 79    Mai 1997 Bosma
      44922: i1167   (C85: lg 84.77) endet in 41    Nov. 1999 Bosma
      43230: i967   (C91: lg 90.13) endet in 101    g43230  03-12-1999 Bosma
      16302: i973   (C94: lg 93.85) endet in 683    31-12-2003 Creyaufmüller
      49218: i822   (C94: lg 93.98) endet in 59    07-07-2004 Creyaufmüller
    105384: i2014   (C96: lg 95.15) endet in 1210/1184    03-04-2004 Stern
        6160: i1631   (C96: lg 95.57) endet in 601      g6160  25-12-2001 Varona/Benito
      62832: i1740   (C100:lg 99.01) endet in 43    28-06-2002 Stern
      23910: i1216   (C100:lg 99.43) endet in 1210/1184    22-04-2004 Stern
        3630: i1263   (C100: lg 99.75) endet in 59      g3630  10-06-2001  Varona/Benito
      56368: i2007   (C102: lg 101.36) endet in 43    06-04-2005 Stern
    134856: i746   (C102: lg 101.42) endet in 601    15-06-2009 Batalov
      21024: i1059   (C103: lg 102.56) endet in 1429    30-04-2005 Stern
    754848: i1049   (C104: lg 103.49) endet in 14891    31-12-2009 Batalov
    683730: i829   (C105: lg 104.85) endet in 59    08-05-2011 bchaffin
    721980: i886   (C106: lg 105.06) endet in 59    15-02-2010 Greebley
    767296: i1888   (C106: lg 105.63) endet in 31     15-05-2011 unconnected
    815770: i989   (C106: lg 105.75) endet in 1153    26-02-2010 biwema
    477750: i1199   (C106: lg 105.76) endet in 601    27-06-2011 bchaffin
    557016: i1489   (C107: lg 106.13) endet in 43    16-03-2011 Schickel
      92898: i3390   (C107: lg 106.29) endet in 41    11-03-2010 Stern
      90480: i604   (C107: lg 106.41) endet in 59    15-07-2010 smh
      45984: i841   (C107: lg 106.50) endet in 11

g45984

 30-05-2006 Stern
    649248: i1568   (C107: lg 106.79) endet in 281    07-05-2011 Stern
    959916: i602   (C108: lg 107.17) endet in 43    17-05-2011 bchaffin
    275892:i1257   (C108: lh 107.22) endet in 59    26-04-2011 RobertS
      33672: i2069   (C108: lg 107.99) endet in 41    05-04-2010 unconnected
    930306: i937   (C109: lg 108.09) endet in 1153    13-05-2011 Stern
      15960: i846   (C109: lg 108.26) endet in 41    03-05-2007 Stern
    771108: i597   (C109: lg 108.37) endet in 321329    06-01-2010 unconnected
    877240: i2010   (C109: lg 108.79) endet in 41    18-06-2011 bchaffin
    757512: i748   (C110: lg 109.04) endet in 601    20-05-2010 Stern
    673140: i700   (C110: lg 109.12) endet in 41    18-07-2011 bchaffin
    585600: i598   (C110: lg 109.45) endet in 37    24-07-2011 unconnected
    752976. i556   (C110: lg 109.49) endet in 43    16-06-2011 fivemack
    774360: i786   (C110: lg 109.76) endet in 37    25-09-2011 bchaffin
    829914: i1942   (C111: lg 110.03) endet in 37    04-04-2010 biwema
    734184: i852   (C111: lg 110.50) endet in 43    25-09-2011 bchaffin
    368712: i1413   (C112: lg 111.13) endet in 41    14-07-2011 unconnected
      91008: i1074   (C112: lg 111.53) endet in 7    05-03-201 bchaffin
    373152: i375   (C112: lg 111.68) endet in 601    09-02-2011 RobertS
    543972: i1135   (C112. lg 111.69) endet in 37    21-11-2011 bchaffin
      98790: i3257   (C112: lg 111.96) endet in 13    20-07-2008 Stern
    734760: i836   (C113: lg 112.06) endet in 191    02-09-2012 Winslow
    142764: i1708   (C113: lg 112.14) endet in 11    13-11-2011 bchaffin
   224560: 1238   (C113: lg 112.15) endet in 7    09-01-2012 bchaffin
    590556: i2314   (C113. lg 112.25) endet in 59    01-10-2011 RobertS
    266224: i683   (C113: lg 112.61) endet in 1093    22-08-2011 bchaffin
    858180: i2818   (C113: lg 112.75) endet in 59    02-10-2011 bchaffin
   940470: i3600   (C113: lg 112.95) endet in 59    11-03-2012 unconnected
      11670: i1067   (C113: lg 112.96) endet in 193    05-09-2007 Stern
    428106: i1880   (C114: lg 113.44) endet in 7    20-01-2012 Batalov
    712068: i1935   (C114: lg 113.78) endet in 43    12-02-2012 bchaffin
    555084: i903   (C114: lg 113.84) endet in 59    17-07-2012 Batalov
    587994: i3177   (C115: lg 114.07) endet in 5431    18-02-2012 unconnected
    133938: i3015   (C115: lg 114.08) endet in 601    28-03-2012 unconnected
    507924: i686   (C115: lg 114.17) endet in 43    15-09-2009 Greebley
    151752: i1175   (C115: lg 114.67) endet in 59    21-06-2009 Greebley
    834216: i1507   (C115: lg 114.99) endet in 601    15-04-2010 Batalov
    701184: i783   (C116: lg 115.81) endet in 73     28-11-2011 bchaffin
    306912: i381   (C116: lg 115.94) endet in 41    09-07-2011 Batalov
    417600: i532   (C117: lg 116.35) endet in 43    19-02-2012 Batalov
      58374: i910   (C118: lg 117.37) endet in 601    29-12-2012 fivemack
      98616: i1041   (C118: lg 117.41) endet in 43    03-12-2009 Stern
    677430: i659   (C118: lg 117.49) endet in 59    07-09-2012 Winslow
    163716: i929   (C118: lg 117.91) endet in 37    12-06-2009 Schickel
    629718: i1331   (C119: lg 118.07) endet in 41    16-02-2014 unconnected
    327132: i3764   (C119: lg 118.54) endet in 41    15-02-2013 fivemack
   109128: i1435   (C119: lg 118.75) endet in 601    14-04-2013 fivemack
    933870: i3165   (C120: lg 119.17) endet in 181    10-12-2012 Batalov
      19494: i1547   (C120: lg 119.92) endet in 37     29-11-2012 fivemack
    738288: i1263   (C121: lg 120.72) endet in 41    17-03-2013 unconnected
    770580: 12992   (C121: lg 120.30) endet im 7    05-02-2013 unconnected
    259896: i591   (C121: lg 120.17) endet in 1210/1184    02-12-2013 Batalov
      62850: i3277   (C121: lg 120.98) endet in 41    04-09-2008 Stern
    856710: 11264   (C123: lg 122.19) endet in 41    18-12-2013 unconnected
      99240: i763   (C123: lg 122.27) endet in 397    08-07-2012 Batalov
    331202: i1357   (C123: lg 122.44) endet in 43    20-04-2013 firejuggler
    993438: i1090   (C123: lg 122.62) endet in 1741    20-05-2013 Jatheski
    228522: i2852   (C123: lg 122.65) endet in 109    12-04-2014 Sergiosi
    707016: i3396   (C124: lg 123.81) endet in 41    12-11-2010 Batalov
    921232: i5510   (C127: lg 126.67) endet in 11    12-04-2010 Creyaufmüller/unconnected
            
Maximum bei OE-Ketten:       1134: i2265  C134      g1134  30-01-2004 Zimmermann/
Creyaufmüller
          552: i902  C147        g552  15-05-2005 Zimmermann
          276: i1567  C149        g276  11-06-2006 Zimmermann
        3432: i1098  C160    20-5-2006 Clavier
        4788: i2529  C172    21-04-2010 Clavier
        3270: i677  C188    19-02-2013 Clavier
           
Maximum bei OES-Ketten:     72288: i1144  (C90: lg 89.15) - OES zu 11408    17-07-2002 Stern
    532530: i1156  (C109: lg 108.88) - OES zu 10528    07-07-2011 bchaffin
    594228: i969  (C110: lg 109.46) - OES zu 38208    15-11-2011 bchaffin
    644664: i779  (C112: lg 111.46) - OES zu 37632    26-12-2011 bchaffin
    207984: i2325  (C112: lg 111.54) - OES zu 53802    31-12-2011 Batalov
    920478: i1041  (C114: lg 113.57) - OES zu 163716    29-03-2012 Batalov
    438966: i3993  (C116: lg 115.63) - OES zu 5748    11-02-2012 unconnected
    448476: i862  (C117: lg 116.29) - OES zu 1074    01-06-2013 Batalov
    273540: i1158  (C117: lg 116.88) - OES zu 3876    12-07-2013 unconnected
    346848: i1314  (C119: lg 118.27) - OES zu 8844    27-05-2013 Batalov
    574344: i1041  (C124: .lg 123.46) - OES zu 5748    17-09-2012 Stern
Größter Rückgang:       1578  Von C110 auf C5      g1578  20-02-2005  Clavier

 

Anmerkung zu den Ketten mit Rekordlängen: 
Die drei Seitenketten zu 25968 fließen an unterschiedlichen Stellen ineinander:
227646:i14 = 652500:i2 = 2372658 und 820584:i2 = 635016:i3 sowie 635016:i962 = 227646:i1094 = 230456;
25968:i10 = 196188:i409 = 635016:i978 = 652500:i1100 = 227646:i1112.
Die Sequenz 921232 erreichte als erste bekannte über 5000 Iterationen.  
Die Sequenz 389508 erreichte als erste bekannte über 8000 Iterationen; Rechenstand: 389508:i8033
Die Berechnung der Sequenz 115302 wurde bei i5415 (C100) vorläufig gestoppt.

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